目前大多数Meta分析使用Hedges等提出的Q检验来解决同质性和异质性问题^[4]。同质性Q检验的目的是为了评估纳入分析的各个样本效应值是否来自相似的总体人群, 从而推断Meta分析的合理性。拒绝Q检验的零假设即意味着各个样本之间存在某些影响效应值的变量（这些变量通常未被指定）。

同质性Q检验可以被拓展于评价Meta分析中组间平均效应值的组间差别, 其中一个很好的方法就是将模型推广至线性模型^{[5, 6, 7]}, 即：

d=β0+β1X1+β2X2+…+βpXp+e(公式1)

其中X_i代表潜在的协变量, β _i表示潜在变量与观察到的效应值的回归权重。通常使用加权最小二乘法（weighted least squares, WLS）或最大似然法（maximum likelihood, ML）来估计该模型的参数。这些方法考虑了观测效应值的样本变异的差异。也就是说, 效应值通过估计的抽样误差的倒数进行加权。

值得注意的是, 许多统计学家认为, 尽管Q检验的应用非常广泛, 但如果其假设不能成立, 那么基于Q检验方法学的Meta分析对评估结果的可信度几乎没有指导意义。

置换检验是Fisher提出的一种基于大量计算, 利用样本数据的全（或随机）排列进行统计推断的方法, 因其对总体分布的要求较自由, 应用较为广泛, 特别适用于总体分布未知的小样本资料, 以及某些难以用常规方法分析资料的假设检验问题^[8]。本文提出的基于线性模型的置换检验本质上是一种广义线性模型（generalized linear model, GLM）的推广。GLM要求观测值误差是随机的, 其特点是不强行改变数据的自然度量, 数据可以具有非线性和非恒定方差结构。置换检验是现有最强大的统计程序之一, 在违背传统参数检验前提假设的情况下提供了强有力的替代方案。它通过对观察到的检验统计量（例如, 平均效应值或通过估计获得回归权重）进行顺序上的置换, 重新计算统计检验量, 构造经验分布, 然后在此基础上求出P值进行推断。置换检验有望在Meta分析中提供一种新的检验假设方法, 可以避免Ⅰ 类错误控制不佳以及与Q检验相关的功效问题。

置换检验在局部权重线性回归中的应用比双变量回归更具挑战性。在诸如零阶相关或双变量回归的双变量模型中, 观察到的自变量（x值）和因变量（y值）的任何配对在零假设下同样可能。因此, y向量的元素（同样对x向量来说）可以被直接置换, 从而构建对零假设的有效统计检验。对于多元回归和构建局部权重线性回归的置换检验, 这种置换是无效的, 因为观察到的y值是一个关于回归因子集合的函数, 而不是单个回归因子（也就是说, 观察到的y值在零假设下是不可交换的, 即特定的局部权重线性回归为零）。这时候的置换需要在部分y值和部分与其他回归无关的x_i值中进行。因此, 重点是推导反映回归权重的偏相关系数的检验。文献中提出的置换方法之间的差异主要反映在构建置换检验时如何获得这些偏相关系数。

一种方法是将典型的平方偏相关系数（在这种情况下, 考虑的是y和z之间的相关性, 而二者均受x控制）考虑为两个残差之间的相关性：

ryz.x2=∑(resy.xresz.x)2∑resy.x2∑resz.x2(公式2)

其中res_y.x是去除x之后的y的残差（注意的是, x可能是单个变量或一组回归因子）。 该平方偏相关被用作具有x变量的检验方程中z的部分回归权重的检验统计量。 后面提出的四种构建置换检验的方法之间的差异反映了用于构建置换分布的统计量的差异。

在Meta分析应用中, y表示观察到的效应大小, 回归因子代表潜在的协变量。对于给定的包含y、z和x观测值的样本, 与x因子进行y的回归, 可以获得残差res_y.x和预测值y′ 。 随后, z对x进行回归以获得残差res_z.x。

Freedman等^[9]提出的置换分布是通过置换残差res_y.x并将它们添加到预测值y′ 构建一组新的y变量来构造的（这些新变量表示为y^P, 因为它们不是实际的观察到的数据, 而是由观察数据的单一置换组成）。 现在, 这些y^P值可以在x上进行回归以获得对于该数据置换（res_FL_y.x）唯一的另一组残差, 并且可以获得置换后的平方偏相关系数：

FL_ryz.x2=∑resFLy.xresz.x2∑resFLy.x2∑resz.x2(公式3)

请注意, 涉及z和x的残差在置换中没有改变, 它们的值在整个置换集合中是不变的。

Kennedy等^{[10, 11]}提出的置换分布也是通过置换残差res_y.x构造的, 但它们不与原始预测值重新组合。相反, 这些置换残差直接输入平方偏相关系数的计算中：

KEN_ryz.x2=∑resy.xresz.x2∑resy.x2∑resz.x2(公式4)

置换过程中唯一变化的数值是该公式的分子, 因为每个置换都会导致两个残差的新配对, 而残差的平方和保持不变。

Manly^[12]认为原始观察到的y值可能是可以置换的, 并且可以获得这些置换后的y值在x上的回归, 继而提供残差（res_MNy.x）。 这些残差对于y向量的每个置换将是唯一的, 用于计算偏相关：

MN_ryz.x2=∑resMNy.xresz.x2∑resMNy.x2∑resz.x2(公式5)

最后, Ter Braak^[13]提出了一种与Freedman Lane方法类似的置换分布, 不同之处在于, 置换的残差是同时在z和x上回归y得到的（称为全模型残差）。对于y、z和x观测值的给定样本, y的观测值同时在x和z上进行回归以获得残差res_y.xz。Ter Braak建议的置换分布是通过置换这些残差构造的, 然后仅在x上对它们进行回归, 以获得另一组残差, 这些残差（res_TB_y.x）对于这种数据置换是唯一的。这个置换可以得到平方偏相关系数：

TB_ryz.x2=∑(res_TBy.xresz.x)2∑(res_TBy.x)2∑resz.x2(公式6)

在所有四种方法中, 都是用观察值的平方偏相关作检验统计量, 然而, 这四种方法产生不同的置换分布, 对该观察值进行评估以获得概率描述。先前在线性模型中检验权重的研究表明^{[6, 14]}, 它们产生几乎相同的渐近分布, 但几乎都证明有限的样本确实存在实质性差异。此外, 这些方法还没有在线性模型中的加权估计的背景下进行研究, 例如Meta分析。

荟萃分析的模型大致可以分为固定效应模型和随机效应模型^[15]。有关固定效应模型和随机效应模型的差别, 读者可以查阅其他文献。本文介绍的SAS宏中, 对于固定效果模型, 这些权重由下式给出：

νi=1σ2(公式7)

其中σ ²是第i个效应量的估计方差。

相比之下, 对于随机效应模型, 使用的权重由下式给出：

ωi=1σ2+τ2(公式8)

其中σ ²和τ ²是第i个效应量的估计方差。